Алгебра

Как построить параболу

Автор: Admin. Опубликовано в Алгебра

В этой статье я попробую вам объяснить, как правильно построить параболу. Дело это несложное, и достаточно понять его один раз, как вы сможете сами построить абсолютно любую параболу:) Итак что же нужно для построения параболы?

  • координатная плоскость;
  • точки.


Первый пункт думаю в комментариях не нуждается, уж начертить координатную плоскость не составит большого труда:) Разберёмся с точками. Чтобы построить параболу нужно минимум три точки: вершина, точка пересечения с OX, точка пересечения с OY. Конечно, желательно использовать большее количество точек, желательно от пяти и чем больше - тем лучше ( т.к. от этого зависит точность построения параболы, да и чертить куда легче ).

Вершина ( m;n ) находится по следующей формуле: m =  (-b):2a. Затем значение m подставляется в квадратичную функцию ( y = ax2 + bx + c ) заместо x и получается линейное уравнение с одной переменной, решив которое найдём n. Если вы ничего не поняли, не спешите закрывать статью - далее я всё подробно опишу на одном примере:) Не знаю почему во всех учебниках вершину параболы обозначают как m;n. m;n - это по сути то же самое, что и x;y, поэтому формула для нахождения верины параболы может выглядеть и так: x = (-b):2a / y ( но всё это я говорю только для того, чтобы вы поняли что к чему. Правильно обозначать вершину именно как m;n ).

Точка пересечения с OX. Здесь всё легче. Просто переписываете то, что вам нужно построить, но вместо y пишем 0. Получится уравнение вида ax2 + bx + c = 0. Решаете это уравнение. Получится ( обычно / чаще всего ) два корня, которые и есть наши точки на оси X ( y = 0 ).

Точка пересечения с OY. Тоже ничего сложного. Опять таки переписываем то, что нужно построить, но вместо x пишем нули. Получится что-то вроде 0x2 + 0x + c = 0. Как видите точка y, зависит от переменной с. В том случае если таковой переменной нет, y всегда будет равен 0.

В том случае если таковой переменной нет, y всегда будет равен 0.

Как я уже говорил ранее, после нахождения трёх основных точек, не помешало бы найти ещё парочку, а то и четыре ( для наиболее лучшего построения параболы ). Для этого просто подставляете вместо X нужную координату ( точку / число ) и высчитываете Y ( или наоборот ). Самое время показать всё на примере. Итак, нам нужно построить параболу y = x2 + 2x - 3. Приступим:

    y = x2 + 2x - 3
    График - парабола ( здесь так же указывается направление ветвей параболы. Если переменная a>0 - ветви вверх, если a<0 - ветви вниз. В нашем случае ветви у параболы направлены вверх 1>0 ).
    D (y): x - любое ( какая бы парабола не была - эта строка неизменна ( * если только в задаче нет каких-то специальных условий )
    Вершина: ( -1; -4 ), т.к.:

m ( x ) = -2:2 = -1

n ( y ) = (-1)2 +2(-1) - 3 = -4.

 

    с OY: ( 0; -3 ), т.к.:
   

y = 0x2 + 0*2 - 3

y = -3

    с OX: ( -3; 0 ) и ( 1; 0 ), т.к.

x2 + 2x - 3 = 0

D = 4 - 4*1(-3) = 4 + 12 = 16

x1 = ( -2 - 4 ):2 = -3

x2 = ( -2 + 4 ):2 = 1.

Построим ещё две точки:

    x = 2
    y = 5,

    x = -2
    y = -3.

 

Отмечаем на координатной плоскости все найденные нами точки. Вот и всё - парабола готова!